#07. 특강2. [ 평균에 대한 추론 ]

Chapter 2. 평균에 대한 추론

# 평균에 대한 추론

# 추정 : 표본을 통해 모집단 특성을 추측

# 가설검정 : 모집단 실제 값이 얼마나 되는가 하는 주장과 관련해서

# 표본이 가지고 있는 정보를 이용해서 가설이 올바른지 판점. 

# 모집단 평균의 구간 추정

# 신뢰구간 

rm(list=ls())

library(reshape)

tips <- tips

# 이부분의 예제로 mu = 가설에서 설정한 평균값 이 필요하다. 

# p-value 값이 0.05 보다 크다면 귀무가설이 참이다 기각하지 X 

# 실제적으로 우리가 알고 싶은 것은 alternative에 있는 조건이다. 

t99 <- t.test(tips$total_bill,conf.level = 0.99)  # 신뢰 수준

t99$conf.int 

# [1] 18.30631 21.26557  신뢰 구간.

# attr(,"conf.level")

# [1] 0.99  # 신뢰 수준 99%

t99$estimate

# mean of x 

# 19.78594

t99$p.value

# [1] 3.595803e-96

t90 <- t.test(tips$total_bill,conf.level = 0.90)

t90$conf.int

# [1] 18.84492 20.72696

# attr(,"conf.level")

# [1] 0.9

t90$estimate

# mean of x 

# 19.78594 

t90$p.value

# [1] 3.595803e-96 

# 평균에 대한 추론 

# One-sample T-Test ( 단일집단 모평군에 대한 검정)

# 예) 2006년조사에의하면한국인의1인1일평균알코올섭취량은

# 8.1g이다. 2008년대통령선거로 알코올섭취량이달라졌는지조사하기

# 위해10명을무작위로 뽑아서조사한결과다음과같은데이터를얻었다.

# 알콜 섭취량 

OneSample <- c(15.5,11.21,12.67,8.87,12.15,9.88,2.06,14.5,0,4.97)

OneSample

# H0 : 2008년의 평균 알콜 섭취량 8.1g

# H1 : 2008년의 평균 알콜 섭취랑 <> 8.1g

# 조건 : 정규분포 또는 편중된 그래프 일 경우 표본수가 30~50개 이상. 

shapiro.test(OneSample) # 정규분포를 따르는지 확인.

# W = 0.92341, p-value = 0.3863

# p-value가 0.05보다 크다. 기각X => 정규분포를 따른다. 

# p-value < 0.05 => 관측수가 적어 다른 TEST 고려.

t.test(OneSample,mu=8.1)

# p-value = 0.5301

# confidence interval 5.436132 ~ 12.925868

# mean of x : 9.181

# H0 : mu = 8.1 vs H1 : mu𝜇 > 8.1

t.test(OneSample,mu=8.1,alternative = "greater")

# p-value = 0.265

# confidence interval : 6.146389      Inf

# mean of x : 9.181 

# H0 : mu = 8.1 vs H1 : mu < 8.1

t.test(OneSample,mu=8.1,alternative = "less")

# p-value = 0.735

# confidence interval: -Inf 12.21561

# mean of x 9.181 

# H0 : 암이 걸리지 않았다. H1: 암이 걸렸다.

# 제 1종 오류, 제 2종 오류 

# 제 1종 : 참인 가설을 기각. => 암이 걸리지 않았는데 걸렸다고 판정.

# 제 2종 : 거짓인 가설을 기각 안함. => 암이 걸렸는데 안걸렸다고 판정. 

# 문제에 따라서 a를 조정할 필요가 있다. 

# 유의수준(𝛼) 조정

t.test(OneSample,mu=8.1,conf.level = 0.99)

# 15세 이상 관람가 영화의 평균 관객수를 95% 신뢰구간을 통해 추정

# 15세 이상 관람가 영화의 평균을 1,500,000 보다 크다고 주장 이 주장이 사실인지 가설 검정을 판단. 

# 1. 귀무가설, 대립 가설설정

# 2. 가정을 만족하는지 체크

# 3. 검정통계량과 p-value 구하기

# 4. a = 0.05에서 통계적 결론은 무엇인가.

DF <- read.csv("movie_MBA2.csv",stringsAsFactors = F)

DF15 <- DF[DF$rating=="15세이상관람가",]

par(las=1,mfcol=c(1,1))

hist(DF$total_seen,20)

str(DF)

# 'data.frame': 227 obs. of  11 variables:

#   $ title       : chr  "다크아워" "원더풀 라디오" "밀레니엄 : 여자를 증오한 남자들" "장화신은 고양이" ...

# $ release_date: chr  "2012-01-05" "2012-01-05" "2012-01-11" "2012-01-12" ...

# $ week1_sales : num  1.17e+09 3.99e+09 2.20e+09 7.75e+09 7.37e+08 ...

# $ week1_seen  : int  142322 541314 281785 883384 104258 183724 916902 335960 209516 1239057 ...

# $ nation      : chr  "미국" "한국" "미국" "미국" ...

# $ production  : chr  "" "(주)영화사아이비젼,(주)기안컬처테인먼트" "" "" ...

# $ distributor : chr  "이십세기폭스코리아(주)" "쇼박스㈜미디어플렉스" "한국소니픽쳐스릴리징브에나비스타영화㈜" "씨제이이앤엠 주식회사" ...

# $ rating      : chr  "12세이상관람가" "15세이상관람가" "청소년관람불가" "전체관람가" ...

# $ genre       : chr  "액션/어드벤쳐" "드라마" "스릴러/공포" "애니메이션" ...

# $ total_seen  : int  162704 986287 443855 2080445 206344 276334 3459864 467697 283449 4058225 ...

# $ total_sales : num  1.32e+09 7.26e+09 3.50e+09 1.76e+10 1.44e+09 ...

DFRe <- t.test(DF15$total_seen,conf.level = 0.95,mu=1500000,alternative = "greater")

# 1. 귀무가설 : 영화 평균 1,500,000 이하이다. 

# 1. 대립가설 : 영화 평균 1,500,000 보다 크다. 

DFRe$p.value # => 0.02 즉, a보다 작다. H0를 기각 가능하다. 귀무가설이 거짓이다. 1,500,000이다. 

DFRe2 <- t.test(DF15$total_seen,conf.level = 0.95,mu=1500000)

DFRe2$conf.int # 150만을 포함하고 있지 않다. 기각한다. 

# 평균에 대한 추론 / 두 모집단 평균에 대한 검정. 독립표본 T-검정.

rm(list=ls())

DT <- read.csv("dental.csv",stringsAsFactors = F)

# 'data.frame': 10 obs. of  2 variables:

#   $ treatment: chr  "test" "test" "test" "test" ...

# $ resp     : int  148 190 68 79 70 40 80 64 52 45

par(mfcol=c(1,2))

boxplot(resp~treatment,data=DT)

boxplot(log(resp)~treatment,data=DT)

# Test가 control군의 분산보다 크다.

# 둘다 편중

# Log변환 후 분산 차도 좁혀지고 편향도도 작아졌다.

# 양의 왜도, 음의 왜도가 생길경우는 log 또는 sqrt (루트) 적용. 

# One sample : T = x bar - mu / (=sd(x bar)/sqrt(n))

# Two sample : T = x1 bar - x2 bar / sqrt(Var(x1 bar - x2 bar))

# sqrt(Var(x1 bar - x2 bar)) => sd(x1)^2 / n1 + sd(x2)^2 / n2

# 등분산 검정 

var.test(log(resp)~treatment, data=DT)  # alternative : true ratio of variances is not equal to 1

t.test(log(resp)~treatment,var.equal=T,data=DT)

# 결론 p.value=0.0357 < 0.05  : 귀무가설 기각 =>  5%하에서 차이가 있다. 평균이 차이가 있다. 

# Alternative 는 two difference in means is not equal to 0 이다. 즉, 대립가설이 참이다.

var.test(resp~treatment, data=DT) # 기각

# p-value = 0.03483 < 0.5 

# confidence interval: 0.008840233 0.815484912  

# ratio of variances 0.08490628  신뢰구간에 존재 하지 않는다. 

t.test(resp~treatment,data=DT) # 기각

# 쌍체표본 T-검정.

# 같은 대상한테 다른 조건을 주고 결과를 체크 하는 것.

# 쌍을 이룬 두 변수의 차이를 보는 검정. 

# 두 집단이라하더라도 쌍둥이 또는 부부처럼 변수들 간의 상관관계가 존재할때 

# 거식증치료제 FT복용전후의 체중변화를 측정하여 FT가 체중증가에 영향이 있는지 조사

FT <- read.csv("FT.csv",stringsAsFactors = F)

FT

summary(FT)

str(FT)

FT$Gap <- FT$Postwt - FT$Prewt

FT

with(FT, shapiro.test(Postwt-Prewt))

#H0 : mu1 - mu2 = 0 ( 평균의 차가 0인지 )

#H0 : Mud = 0 (차이의 평균이 0인지)

#H0 : Mud > 0 (차이의 평균이 0보다 큰것인지 )   

with(FT,boxplot(Postwt - Prewt))

boxplot(FT$Gap)

with(FT,t.test(Postwt - Prewt,alternative = "greater"))

t.test(FT$Gap, alternative = "greater")

#p-value = 0.0007 < 0.05 귀무가설을 기각. 
#FT 복용 후 통계적으로 우의한 체중 증가가 있었다. 

# A/B 테스트(임의화 비교실험)

# 요인의 효과를 제어할 수 있는 상태에서 비교할 수 있다. 

# 예 ) 흡연 유무에 따른 폐질활 검사=> 통제 할 수 없다.

# 실전

# 3. 12 / 15 세 관객수 비교

# 3. 한 영화사에서는 15세 이상 관람가 영화의 평균 관객수가 12세이상 관람가 영화의 평균관객수보다 많다고 주장한다. 본 주장이 사실인지 가설검정을 통해 판단하시오 

#   i. 귀무가설, 대립가설 설정

#   ii. 가정을 만족하는지 체크  

#   iii. 검정통계량과 p-value 구하기

#   iv. α=0.05에서 통계적 결론은 무엇인가? 

MV <- read.csv("movie_MBA2.csv",stringsAsFactors = F)

MV1215 <- MV[MV$rating=="15세이상관람가"|MV$rating=="12세이상관람가",]

unique(MV1215$rating)

MV1215$rating <- factor(MV1215$rating,labels=c("12세이상관람가","15세이상관람가")) #rating에 원래 다른 levels가 존재한걸 없애준다.

boxplot(total_seen~rating,MV1215)

boxplot(log(total_seen)~rating,MV1215)

var.test(total_seen~rating,MV1215)        # p-value = 0.0263

var.test(log(total_seen)~rating,MV1215)  #  p-value = 0.784

t.test(total_seen~rating,MV1215,alternative="less")  #12세 - 15세가 0보다 작아야되므로 less를 적용.

#실질적으로는 15세가 크게 나왔지만 통계적으로 유희수준을 넘을 정도로 크게 나오지 않음.

t.test(log(total_seen)~rating,MV1215,var.equal = T,alternative="less")

#log는 그냥 해본것. 

# 4. StreetInsider.com은 대기업의 표본 자료를 통해 2002년 주당이익 수준을 발표하였다. 

# 2002년 이전에 애널리스트들이 이들 대기업에 대한 주당이익을 예측하였다 (Borron’s, 2001년 9월 10일). 

# Earnings.csv에 자료를 바탕으로 실제 주당이익과 추정 주당이익의 차이에 대한 조사를 수행하였다.

# A. 실제 평균 주당 이익과 추정 평균 주당이익의 자료를 각각 기술통계량을 사용해 요약하시오.

# B. 실제 모집단 평균 주당 이익과 추정 모집단 평균 주당이익 간의 차이에 대하여 가설검정을 α=0.05에서 

# 수행하시오. 

#   i. 귀무가설, 대립가설 설정

#   ii. 가정을 만족하는지 체크

#   iii. 검정통계량과 p-value구하기

#   iv. 통계적 결론은 무엇인가?

# C. 두 평균의 차이에 대한 점 추정치는 얼마인가? 애널리스트들은 주당 이익에 대하여 과대평가 하였는가? 아니면 과소평가 하였는가?

Earning <- read.csv("Earnings.csv",stringsAsFactors = F)

head(Earning)

# 'data.frame': 10 obs. of  3 variables:

#   $ Company  : chr  "AT&T" "Amer Express" "Citigroup" "Coca Cola" ...

# $ Actual   : num  1.29 2.01 2.59 1.6 1.84 2.72 1.51 2.28 0.77 1.81

# $ Predicted: num  0.38 2.31 3.43 1.78 2.18 2.19 1.71 2.18 1.55 1.74

# Company Actual Predicted

# 1         AT&T   1.29      0.38

# 2 Amer Express   2.01      2.31

# 3    Citigroup   2.59      3.43

# 4    Coca Cola   1.60      1.78

# 5       DuPont   1.84      2.18

# 6  Exxon-Mobil   2.72      2.19

with(Earning,boxplot(Actual - Predicted))

with(Earning,t.test(Actual - Predicted,alternative = "greater"))

# p-value = 0.7199

# alternative hypothesis: true mean is greater than 0

# 95 percent confidence interval: -0.4151565        Inf

# mean of x -0.103

# H0 mean(Earning$Actual - Earning$Predicted) is equal to 0

# H1 true mean is not equal to 0

boxplot(Earning$Actual - Earning$Predicted)

t.test(Earning$Actual - Earning$Predicted)

# Acutal이 적게 나왔다, 과대 평가를 한것이다. 하지만 양은 통계적으로 유의할 만큼 과대평가 한것이 아니다. 

# p-value = 0.5602

# 95 percent confidence interval : -0.4882175  0.2822175

# mean of x -0.103