#01. 데이터의 통계적 기술

데이터의 통계적 기술

•  중심성향의 측도 
  데이터의 대적인 값을 나타내는 수치. 
  ex) 산술평균, 가중평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다. 
  
  
• 산포의 측도
  데이터가 퍼져있는 정도를 나타내는 수치.
  ex) 범위, 분위수, 평균절대편차(MAD), 분산과 표준편차 등이 있다.
  
  
• 모집단의 특성 => 모수, 파라미터
  표본의 특성 => 통계량
  
  
• 산술평균 
  데이터의 합을 데이터의 수로 나누는 것.    ∑ Xi ÷ N
  - 모집단의 평균 : µ (뮤) , 표본의 평균 : X bar ( X 바 )
  
  
• 가중평균 어떤 값이 다른 값보다 중요할때 각 수치에 따른 가중치를 다르게 두어 평균을 구하는 방법. 
  X w =  ∑(wi * Xi) / ∑wi                         * wi : 가중치
  
  
• 중앙값
  값과 상관없이 데이터 개수가 같아지게 되는 값 ( 양분 하는 곳에 있는 데이터 값 )  
  
  
• 최빈값 
  데이터 중 가장 많은 빈도로 나오는 것. 두개의 최빈값이 있을 경우는 이봉분포라 한다. 
  
  ※ 평균은 극단적인 데이터까지도 동긍하게 취급한다.
     중앙값은 가운데 데이터에 초점을 맞춘다. 즉, 평균은 극단적인 값에 영향을 많이 받는다. 
     평균과 중앙값은 하나만 가지지만 최빈값은 아니다. 
  
     대체로 평균과 중앙값이 최빈값보다 중심경향을 나타내는 측도로서 더 쓸모가 있다.
  
  
• 분포의 모양과 중심성향의 측도
  
  
  
• 산포의 측도
• 범위 : Max - Min 
• 범위의 중앙 : Max + Min / 2
  => 극단적인 데이터를 사용하는 단점이 있다.
• 분위수 
  같은 크기의 집단으로 데이터 값의 크기에 따라 데이터 구분.
  
  Ex) 사분위수 : 같은 크기 데이터로 4부분을 만든다. 각 25%.   즉, 25% 50% 75%으로 4부분을 나눈다. 
  Q1 = ( N + 1 ) / 4    Q2 = 2 * ( N + 1 ) / 4    Q3 = 3 * ( N + 1 ) / 4    
  
  사분위의 범위 : Q3 - Q1
  사분위의 편차  ( Q3 - Q1 ) / 2
  
  
• 평균절대편차 ( MAD ) 
  데이터가 평균으로부터 얼마나 떨어져있나?
  
  ※평균절대편차와 표준편차의 차이
     1) 평균절대편차  ( ∑ | Xi - μ | / N )
         실질적으로 평균으로부터 평균적으로 얼마나 떨어져있나?
     2) 표준편차 
         평균으로부터 일정거리 내 있는 비율을 구할때 사용.
     ∴  다르게 사용 이유 ?  수식계산에 있어 절대값은 용이하지 않는다. 단절되는 부분이 생긴다. 
                                    그래서 제곱의 루트를 사용한다.
  
     ※ 분산을 사용하지 않고 표준편차를 사용하는 이유는?
        음수와 절대값을 없애기 위해 제곱을 하였지만 평균과 비교하기에는 단위가 맞지 않아 루트를 하게 된다. 
        그것이 표준편차이다. 
  
  
• 분산과 표준편차
• 분산 : 데이터가 평균으로 부터 분산되어 있는 정도를 나타낸다. 산포도의 측도 ( σ ^ 2 ) 
  N 개의 데이터의 값과 평균 (μ) 의 차이를 제곱해서 합한 값의 평균. 
  
  
• 모집단의 분산 
  σ ^ 2 = ∑ ( Xi - μ ) / N 
• 표본의 분산 
  S ^ 2 = ∑ ( Xi - X bar ) / N - 1
• 잔차 : 편균과 데이터 값의 차이       
  
  
• 표준편차 : 분산의 양의 제곱근 
  평균으로부터 양쪽으로 일정한 거리 안에 있는 데이터의 비율이 얼마인가를 계산할 때 사용.

• 	모집단	표본
  표준편차	σ  = sqrt( σ ^ 2 )	s  = sqrt( s ^ 2 )

  
  ※ 모든 데이터가 동일하지 않다면 분산, 표준편차는 0이 될 수 없다. 동일한 값을 더하고 빼주어도 분산, 표준편차는 변함이 없다.
  
  
• 상자 그림
  중심성향과 산포도 측도를 동시에 나타내는 시각적 표현.
  
• 사분위 수 : Q1 ~ Q3 ( 25 ~ 75% )       상자의 폭은 사분위 범위.
• 중앙값 ( Median ) Q2    2 ( n + 1 ) / 4
  
• 극단값 : 특이점으로 간주되는 값들 ( Outlier ) 
• Q1 ~ Q2 > Q2 ~ Q3 인 이유는 음의 기운분포 형태의 그래프이기 때문이다.
  ( 같은 크기의 분포인데 너비가 좁다. => 좁은 범위에 많은 수가 있다. )
  
  
• 체비셰포정리 : 일정한 수의 표준편차 구간에 있는 데이터의 퍼센트 
  평균으로부터 k 표준편차 이내에 있는 데이터 % 
  => 최소한 ( 1 - ( 1 / K ^ 2 ) ) ^ 2 x 100
  
  
• 경험적 법칙 ( 평균으로 부터 )
• 1 표준 편차 이내 약 68% 
• 2 표준 편차 이내 약 95%
• 3 표준 편차 이내 거의 모든 수가 있다. 즉, 그 범위를 넘어가는 수가 나올 확률은 0
  
  
• 데이터의 표준화
  데이터를 표준편차의 개수로 표현된 평균으로부터의 거리 
  표준화는 다른 단위로 표현 된 서로 다른 값을 비교할 수 있다.
  평균 : 0  표준편차 : 1 인 그래프가 그려진다. 
  
   $${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}} 
  
  
  
• 변동계수
  표준편차를 평균의 퍼센트로 표시 즉, ∠ U = σ / μ x 100 
  

  => 비율을 비교할 수 있는 것이다. 

  같은 sd라도 mean에 따라 크기의 비율이 다를 수 도있다.

  즉, mean 10 sd 1   mean 100 sd 1 두개의 산포 정도는 다르다 라는 것.